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\begin{document}

\begin{center}
\Huge \textbf{数值分析第一次上机作业} \\ [0.2cm]
\LARGE 林敬翊 3210300367 信息与计算科学

\end{center}

\section{问题A}
写出了$EquationSolver.h$ 里面有$Bisection$,$Newton$和$Secant$,里面运用的为机器精度$epsilon$.

\section{问题B}
1.$x^{-1}-tanx$ on [0,$\frac{\pi}{2}$]，第一的根为0.860334,迭代次数为51,误差为0\\
2.$x^{-1}-2^{x}$ on [0,1]，第二的根为0.641186,迭代次数为51,误差为0\\
3.$2^{-x}+e^{x}+2cos{x}-6$ on [1,3]，第三的根为1.82938,迭代次数为52,误差为0\\
4.$\frac{x^3+4x^2+3x+5}{2x^3-9x^2+18x-2}$ on [0,4]，第四的根为0.117877,迭代次数为54,误差为-2.43683e+16\\

通过观察可知，前三题使用二分法都可以完成运算。但第四题计算答案不正确，因为在有理函数的情况下，函数可能在分母为零的点上有一个根。在这个特定的例子中，分母为零的点可能导致二分法的迭代不收敛，因此迭代次数较多。同时，误差为负数可能是由于分母的值非常接近0，造成了数值计算中的除零错误。

\section{问题C}

用Newton's Method 解$x = tanx $ 可得\\
4.5附近根为：4.49341,迭代次数为20,误差为-8.88178e-16\\
7.7附近根为：7.72525,迭代次数为20,误差为2.30926e-14\\


\section{问题D}
1.$sin\frac{x}{2}-1$ with $x_0=0,x_1=\frac{\pi}{2}$\\
第一小题的结果为根为3.14159,迭代次数为37,误差为-1.11022e-16\\
初始区间 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 内单调递增，割线法在两个初始点之间找到了根。迭代次数相对较多（37次），可能是因为函数在初始区间内的变化比较平缓，需要更多的迭代次数来达到所需的精度。误差非常小（接近零），表明找到的根非常接近真实值。\\
2.$e^x-tanx$ with $x_0=1,x_1=1.4$\\
第二小题的结果根为1.30633,迭代次数为16,误差为-8.88178e-16\\
在初始区间 $[1, 1.4]$ 内也是单调递增的。割线法在这个区间内找到了根，只需16次迭代。相较于第一个问题，这个函数在初始区间内的变化较为剧烈，因此割线法能够快速找到根。误差非常小（接近零），表明找到的根非常接近真实值。\\
3.$x^3-12x^2+3x+1$ with $x_0=0,x_1=-0.5$\\
第三小题的结果根为-0.188685,迭代次数为8,误差为0\\
在初始区间 $[-0.5, 0]$ 内具有不同的斜率。割线法在这个区间内找到了根，只需8次迭代。函数在这个区间内的变化相对较小，因此割线法可以较快地找到根。误差为零，表明找到的根非常接近真实值。\\

\section{问题E}
二分法求解：\\
根0.166166,迭代次数为52,误差为0,水的深度为0.833834ft\\
牛顿法求解：\\
根0.166166,迭代次数为4,误差为0,水的深度为0.833834ft\\
割线法求解：\\
根0.166166,迭代次数为7,误差为0,水的深度为0.833834ft

\section{问题F}
a小题:\\
根为32.9722度,迭代次数为20,误差为8.13611e-16\\
b小题：\\
根为33.1689度,迭代次数为20,误差为-4.08368e-15\\
c小题：\\
根为-212.972度,迭代次数为10,误差为8.13611e-16\\

c小题答案不合理，因为割线法高度依赖于初始值的选择。如果初始值选择得太远离根，割线法可能会陷入局部最小值或者不收敛，导致得到不合理的结果。
\end{document}